Lời nói đầu
Giáo trình Giải tích I được biên soạn cho sinh viên ngành Sư phạm Toán học tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.
Giáo trình trình bày một cách có hệ thống và chặt chẽ các chủ đề cốt lõi về phép tính vi phân của hàm một biến. Mục tiêu chính của giáo trình là giúp sinh viên có cái nhìn sâu sắc về các khái niệm và kết quả quan trọng của Giải tích cho hàm một biến, đồng thời phát triển năng lực tư duy logic, khả năng lập luận và kỹ năng vận dụng toán học vào giải quyết các vấn đề lý thuyết cũng như thực tiễn.
Giáo trình gồm có 4 chương, nội dung của mỗi chương như sau:
Chương 1 trình bày các kiến thức toán học cơ sở, đóng vai trò tiên quyết cho việc tiếp thu hiệu quả các nội dung về sau. Phần đầu của chương trình bày sơ lược về logic và lý thuyết tập hợp. Phần còn lại của chương giới thiệu khái niệm quan hệ giữa hai tập hợp, định nghĩa ánh xạ cùng các tính chất liên quan đến ảnh và ảnh ngược của một tập hợp.
Chương 2 dành cho các khảo sát về dãy số và giới hạn dãy số. Chương này không những đưa ra cái nhìn bao quát về dãy số, mà còn cung cấp nhiều kĩ thuật nền tảng cho nhiều chứng minh trong các chương tiếp theo. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu các tính chất cơ bản của tập số thực, tính trù mật của tập các số hữu tỉ và tập số vô tỉ. Tiếp theo, chúng tôi trình bày chi tiết về dãy số và sự hội tụ của chúng. Nhiều ví dụ được trình bày chi tiết một phần giúp sinh viên làm quen với các cách lập luận, đồng thời hỗ trợ khả năng tự học của sinh viên. Sau đó, các tính chất điển hình khác như nguyên lý Bolzano-Weierstrass, nguyên lý về dãy đoạn thắt lại, dãy Cauchy giúp chúng ta có thêm nhiều phương pháp hơn để khảo sát sự hội tụ của dãy số. Cuối chương trình bày các khái niệm về giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy số.
Chương 3 đề cập đến giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến. Phần đầu của chương trình bày khái niệm hàm số và sơ lược về các hàm số sơ cấp thường gặp.
Sau đó, các khái niệm về giới hạn hàm số và các tính chất của chúng được trình bày đầy đủ. Tiếp đó, chúng tôi trình bày tính liên tục của hàm số và các kết quả về hàm số liên tục trên một đoạn. Chúng tôi cũng giới thiệu ngắn gọn các khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé cũng như ứng dụng của chúng trong việc khử các dạng vô định. Phần còn lại của chương trình bày về tính liên tục đều của hàm số, các tính chất đặc trưng và mối liên hệ giữa nó với tính liên tục.
Chương 4 tập trung vào việc nghiên cứu phép tính vi phân của hàm số một biến. Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm đạo hàm cấp một của hàm một biến số và ý nghĩa của nó trong hình học và vật lí. Tiếp đó, các quy tắc cơ bản để tính đạo hàm cấp một được trình bày kĩ càng và mở rộng các quy tắc đó cho trường hợp đạo hàm cấp cao. Phần tiếp theo của chương đề cập đến khái niệm vi phân và ứng dụng của nó trong việc xấp xỉ giá trị các hàm số. Sau đó, chúng tôi tiếp cận và diễn giải một cách thấu đáo các định lí cơ bản của hàm khả vi như Định lí Rolle, Định lí Lagrange, quy tắc L’Hospital hay Công thức khai triển Taylor. Phần còn lại của chương trình bày về ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị và vẽ đồ thị hàm số.
Chúng tôi chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã đọc bản thảo và đóng góp những ý kiến quý báu. Chúng tôi cũng mong nhận được phản hồi từ độc giả về những thiếu sót khó tránh khỏi của giáo trình.
Huế, tháng 9 năm 2025
Nguyễn Thái An
Lê Thị Như Bích
Phạm Đình Đồng
Trần Thiện Tín